Question

已知橢圓C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別是F₁、F₂，離心率為e．直線l：y＝ex＋a與x軸、y軸分別交于點A、B，M是直線l與橢圓C的一個公共點，P是點F₁關于直線l的對稱點．設．

(1)證明λ＝1－e²；

(2)確定λ的值，使得ΔPF₁F₂是等腰三角形．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)證法一：因為A、B分別是直線l：y＝ex＋a與x軸、y軸的交點．所以A、B的坐標分別是(，0)，(0，a)．由得 　　這里c＝，所以點M的坐標是(－c，)． 　　由得(，)＝λ(，a) 　　即，解得λ＝1－e2． 　　證法二：因為A、B分別是直線l：y＝ex＋a與x軸、y軸的交點，所以A、B的坐標分別是(，0)，(0，a)．設M的坐標是(x0，y0)，由得(，y0)＝λ(，a)． 　　所以 　　因為點M在橢圓上，所以＝1． 　　即＝1，所以＝1． 　　e4－2(1－λ)e2＋(1－λ)2＝0， 　　解得e2＝1－λ，即λ＝1－e2． 　　(2)解法一：因為PF1⊥l，所以∠PF1F2＝90°＋∠BAF1為鈍角．要使△PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|＝|F1F2|、即|PF1|＝c． 　　設點F1到l的距離為d，由|PF1|＝d＝＝c， 　　得＝e，所以e2＝．于是λ＝1－e2＝． 　　即當λ＝時，△PF1F2為等腰三角形． 　　解法二：因為PF1⊥l，所以∠PF1F2＝90°＋∠BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|＝|F1F2|． 　　設點P的坐標(x0，y0)，則解得 　　由|PF1|＝|F1F2| 　　得[]2＋[]2＝4c2，兩邊同時除以4a2，化簡得＝e2． 　　從而e2＝．于是λ＝1－e2＝． 　　即當λ＝1－e2＝時，△PF1F2為等腰三角形．