Question

【題目】等腰直角三角形的斜邊AB為正四面體側棱，直角邊AE繞斜邊AB旋轉，則在旋轉的過程中，有下列說法：

（1）四面體EBCD的體積有最大值和最小值；

（2）存在某個位置，使得；

（3）設二面角的平面角為，則；

（4）AE的中點M與AB的中點N連線交平面BCD于點P，則點P的軌跡為橢圓.

其中，正確說法的個數是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】分析：首先結合正四面體的特征以及等腰直角三角形在旋轉的過程中對應的特點，得到相關的信息，結合題中所給的條件，以及相關的結論，認真分析，逐一對比，得到結果.

詳解：根據正四面體的特征，以及等腰直角三角形的特征，可以得到當直角邊繞斜邊旋轉的過程中，存在著最高點和最低點，并且最低點在底面的上方，所以四面體EBCD的體積有最大值和最小值，故(1)正確；

要想使，就要使落在豎直方向的平面內，而轉到這個位置的時候，使得滿足，但是就不滿足是等腰直角三角形了，所以(2)不正確；

利用二面角的平面角的定義，找到其平面角，可以判斷得出設二面角的平面角為，則，所以(3)是正確的；

根據平面截圓錐所得的截面可以斷定，AE的中點M與AB的中點N連線交平面BCD于點P，則點P的軌跡為橢圓，所以(4)正確；

故正確的命題的個數是3個，故選C.