Question

（1）求證：AEBE；
（2）求三棱錐D—AEC的體積；
（3）求二面角A—CD—E的余弦值．

Answer 1

(2)4/3  (3)

（1）證明：ABCD是矩形
BCAB
平面EAB平面ABCD，平面EAB平面ABCD=AB，BC平面ABCD
BC平面EAB      
EA平面EAB
BCEA       ……2分
BF平面ACE，EA平面ACE
 BF EA         ……3分
 BC BF=B，BC平面EBC，BF平面EBC
 EA平面EBC              
BE平面EBC
 EA BE                     ……5分
(2)  EA BE
AB=
   ……6分
設O為AB的中點，連結EO，
AE=EB=2
EOAB
平面EAB平面ABCD
EO平面ABCD，即EO為三棱錐E—ADC的高，且EO=  ……8分
     ……9分
(3)以O為原點，分別以OE、OB所在直線為，如圖建立空間直角坐標系，則，
  
……10分
由（2）知是平面ACD的一個法向量，
設平面ECD的法向量為，則
即
令，則，所以   ……12分
設二面角A—CD—E的平面角的大小為，由圖得，則
    ……13分
所以二面角A—CD—E的余弦值為    ……14分
若（1）、（2）問都用向量做，按步驟給分就可以