Question

下列幾個結論：
①“x＜-1”是“x＜-2”的充分不必要條件；
②

∫

1 0

(ex+sinx)dx=e-cos1；
③已知a＞0，b＞0，a+b=2，則y=

1

a

+

4

b

的最小值為

9

2

；
④若點（a，9）在函數y=3^x的圖象上，則tan

aπ

3

的值為-

3

；
⑤函數f(x)=2sin(2x-

π

3

)-1的對稱中心為(

kπ

2

+

π

6

，0)(k∈Z)．
其中正確的是

②③④

（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

分析：由不等式的性質與充要條件的定義進行推理，得①不正確；由積分計算公式和微積分基本定理，可得②的積分計算正確；根據a+b=2將1=

1

2

（a+b）代入y表達式，再利用基本不等式算出y的最小值為

9

2

，得③正確；根據指數運算性質算出a=2，再由誘導公式和特殊角的三角函數值，算出tan

aπ

3

的值為-

3

，得④正確；根據三角函數圖象的對稱中心的公式，算出函數f(x)=2sin(2x-

π

3

)-1圖象的對稱中心為(

kπ

2

+

π

6

，1)(k∈Z)，故⑤不正確．

解答：解：對于①，若“x＜-1”成立，則“x＜-2”不一定成立．
反之，若“x＜-2”成立，則“x＜-1”一定成立．
因此“x＜-1”是“x＜-2”的必要不充分條件，故①不正確；
對于②，由積分公式可得

∫

1 0

(ex+sinx)dx=（e^x-cosx）

|

1 0

=（e¹-cos1）-（e⁰-cos0）=e-cos1，故②正確；
對于③，由于a＞0，b＞0，a+b=2，
可得y=

1

a

+

4

b

=

1

2

（a+b）（

1

a

+

4

b

）=

1

2

（5+

b

a

+

4a

b

）≥

1

2

（5+2

b a • 4a b

）=

9

2

，
當且僅當b=2a=

2

3

時等號成立．
因此可得：y=

1

a

+

4

b

的最小值為

9

2

，故③正確；
對于④，若點（a，9）在函數y=3^x的圖象上，則9=3^a，可得a=2．
∴tan

aπ

3

=tan

2π

3

=-tan

π

3

=-

3

，故④正確；
對于⑤，對函數f(x)=2sin(2x-

π

3

)-1，令2x-

π

3

=kπ（k∈Z），可得x=

π

6

+

1

2

kπ（k∈Z），
所以函數f(x)=2sin(2x-

π

3

)-1圖象的對稱中心為(

kπ

2

+

π

6

，1)(k∈Z)，故⑤不正確．
綜上所述，正確的命題是②③④．
故答案為：②③④

點評：本題給出幾個命題，求出其中的真命題．著重考查了三角函數的圖象與性質、三角函數的誘導公式、積分計算公式與微積分基本定理、利用基本不等式求最值和充要條件的判斷等知識，屬于中檔題．