Question

把圓周4等分，A是其中一個分點，動點P在四個分點上按逆時針方向前進．投擲一個質地均勻的正四面體，它的四個面上分別寫著1，2，3，4四個數字，P從A點出發，按照正四面體底面上所投擲的點數前進（數字為n就前進n個分點），轉一周之前繼續投擲．
（Ⅰ）求點P恰好返回到A點的概率：
（Ⅱ）在點P轉一周能返回A點的所有結果中，用隨機變量ζ表示點P返回A點時的投擲次數，求ζ的分布列和期望．

Answer 1

分析：（I）點P恰好返回到A點包括投擲1次返回A點時，所得底面上的數字為4，投擲2次返回A點時，應分別投出1，3；2，2；3，1三種點數情況，投擲3次返回A點時，應分別投出1，1，2；1，2，1；2，1，1三種情況，投擲4次返回A點時，分別投出1，1，1，1情況，
根據互斥事件和相互獨立事件同時發生的概率，得到結果．
（II）在恰能返回A點的情況下，ξ有1，2，3，4共四種取值的可能結果，結合第一問做出的結果，寫出變量的分布列，做出數學期望．

解答：解：（Ⅰ）記點P恰好返回A點為事件A，投擲1次、2次、3次、4次返回A點分別為事件B₁、B₂、B₃、B₄，
則：投擲1次返回A點時，所得底面上的數字為4，故P（B₁）=

1

4

；
投擲2次返回A點時，應分別投出1，3；2，2；3，1三種點數情況，
故P（B₂）=

1

4

×

1

4

+

1

4

×

1

4

+

1

4

×

1

4

=

3

16

；
投擲3次返回A點時，應分別投出1，1，2；1，2，1；2，1，1三種情況，
故P（B₃）=

1

4

×

1

4

×

1

4

+

1

4

×

1

4

×

1

4

+

1

4

×

1

4

×

1

4

=

3

64

；
投擲4次返回A點時，分別投出1，1，1，1情況，故P（B₄）=

1

4

×

1

4

×

1

4

×

1

4

=

1

256

；
∴P（A）=P（B₁）+P（B₂）+P（B₃）+P（B₄）=

1

4

+

3

16

+

3

64

+

1

256

=

125

256

（Ⅱ）由（Ⅰ）知恰能返回A點的情況共有8種，
由隨機變量ζ表示點P轉一周能返回A點的所有結果中的投擲次數，
可得ξ有1，2，3，4共四種取值的可能結果，
∴P（ξ=1）=

1

8

，
P（ξ=2）=

3

8

，
P（ξ=3）=

3

8

，
P（ξ=4）=

1

8

，
∴ξ的分布列為

∴Eξ=1×

1

8

+2×

3

8

+3×

3

8

+4×

1

8

=

5

2

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望，考查互斥事件的概率，考查相互獨立事件同時發生的概率，考查分類討論思想，是一個綜合題目，這種題目理科通常會作為高考題目．