Question

已知雙曲線的左右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)P在雙曲線右支上.

（Ⅰ）若當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時(shí),,求雙曲線的方程；

（Ⅱ）若,求雙曲線離心率的最值,并寫出此時(shí)雙曲線的漸進(jìn)線方程.

Answer 1

（Ⅰ）所求雙曲線的方程為:   

（Ⅱ）雙曲線的漸進(jìn)線方程為                     

解析:

（Ⅰ）(法一)由題意知,, ,

, （1分）

解得 .  由雙曲線定義得:

, 

 所求雙曲線的方程為:   

 (法二) 因,由斜率之積為,可得解.

（Ⅱ）設(shè),

 (法一)設(shè)P的坐標(biāo)為, 由焦半徑公式得,,，

的最大值為2,無最小值. 此時(shí),

此時(shí)雙曲線的漸進(jìn)線方程為                     

(法二)設(shè),.

(1)當(dāng)時(shí), ,

此時(shí) .

(2)當(dāng),由余弦定理得:

  ,

,,綜上,的最大值為2,但無最小值. (以下法一)