Question

（本大題滿分14分）

已知△的兩個頂點的坐標分別是，，且所在直線的斜率之積等于．

（Ⅰ）求頂點的軌跡的方程，并判斷軌跡為何種圓錐曲線；

（Ⅱ）當時，過點的直線交曲線于兩點，設點關于軸的對稱點為(不重合)．求證直線與軸的交點為定點，并求出該定點的坐標．

 

Answer 1

【答案】

(1) (1) 當時 軌跡表示焦點在軸上的橢圓，且除去兩點；

當時 軌跡表示以為圓心半徑是１的圓，且除去兩點；

當時 軌跡表示焦點在軸上的橢圓，且除去兩點；

當時  軌跡表示焦點在軸上的雙曲線，且除去兩點

(2) 直線過定點  

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由題知： 

化簡得：                  ……………………………2分

當時 軌跡表示焦點在軸上的橢圓，且除去兩點；

當時 軌跡表示以為圓心半徑是１的圓，且除去兩點；

當時 軌跡表示焦點在軸上的橢圓，且除去兩點；

當時  軌跡表示焦點在軸上的雙曲線，且除去兩點；

……………………………6分

（Ⅱ）設 

依題直線的斜率存在且不為零，則可設:，

代入整理得

，，               ………………………………9分

又因為不重合，則

的方程為 令，

得

故直線過定點.                        ……………………………13分

解二：設

依題直線的斜率存在且不為零，可設:

代入整理得：

,，                ……………………………9分

的方程為  令，

得

直線過定點                        ……………………………13分

考點：考查了圓錐曲線方程，以及直線與圓錐曲線的位置關系

點評：解決含參數的曲線方程的問題，主要是關注我們方程的特點來分類討論得到，同時能結合設而不求的思想求解坐標，進而求解直線方程，屬于中檔題。