Question

（14分）若數列滿足，其中為常數，則稱數列為等方差數列.已知等方差數列滿足成等比數列且互不相等.

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）求數列的前項和；

    （Ⅲ）是否存在實數，使得對一切正整數，總有成立？若存在，求實數的取值范圍，若不存在，說明理由.

Answer 1

 解析：（Ⅰ）由得，

即   

，

   

數列的通項公式為；  …………………………………5分

（Ⅱ） 

設       ①

  ②

①-②，得

  

 

.

即數列的前項和為；…………………………………10分

（Ⅲ）假設存在實數，使得對一切正整數，總有成立，

即             .

設         ，

當 時，，且遞減；當 時，，且遞減；故

最大，    .

故存在，使得對一切正整數，總有成立.

……………………………………14分