Question

已知向量

a

=(x，

2

y)，

b

=(1，0)，且(

a

+2

b

)⊥(

a

-2

b

)．點T（x，y）
（1）求點T的軌跡方程C；
（2）過點（0，1）且以(2，

2

)為方向向量的一條直線與軌跡方程C相交于點P，Q兩點，OP，OQ所在的直線的斜率分別是k_OP、k_OQ，求k_OP•k_OQ的值．

Answer 1

分析：（1）由

a

=(x，

2

y)，

b

=(1，0)，可得

a

+2

b

=(x+2，

2

y)，

a

-2

b

=(x-2，

2

y)，利用(

a

+2

b

)⊥(

a

-2

b

)得到兩者的內積為0，整理可得點T的軌跡方程；
（2）設直線L的方程：y=

2

2

x+1與橢圓方程聯立，利用韋達定理及斜率公式，即可求k_OP•k_OQ的值．

解答：解：（1）∵

a

=(x，

2

y)，

b

=(1，0)，
∴

a

+2

b

=(x+2，

2

y)，

a

-2

b

=(x-2，

2

y)
∵(

a

+2

b

)⊥(

a

-2

b

)
∴x²-4+2y²=0
∴點T的軌跡方程C為

x2

4

+

y2

2

=1
（2）設直線L的方程：y=

2

2

x+1
聯立

x2 4 + y2 2 =1 y= 2 2 x+1

消去y得：x2+

2

x-1=0所以x₁x₂=-1，
同法消去x得：2y²-2y-1=0，所以y1y2=-

1

2

∴kOP•kOQ=

y1y2

x1x2

=

1

2

點評：本題考查軌跡方程，考查向量知識的運用，考查直線與橢圓的位置關系，聯立方程，利用韋達定理是關鍵．