Question

（2009•普寧市模擬）已知向量p=（sinax，sinax），q=（sinax，-cosax），其中a＞0，若函數f（x）=p•q-

1

2

的圖象與直線y=m相切，并且切點的橫坐標依次成公差為

π

2

的等差數列．
（Ⅰ）求a、m的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調遞減區間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）化簡函數f（x）=sin²ax-sinax•cosax-

1

2

，利用二倍角公式將f（x）化為f（x）=-

2

2

sin（2ax+

π

4

），結合函數圖象可得所以m為f（x）的最大值或最小值；根據周期求出a的值，
（Ⅱ）然后再利用三角函數的單調性求函數f（x）的單調增區間．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=-sinax•cosax+sin²ax-

1

2

（a＞0）=-

1

2

sin2ax+

1-cos2ax

2

=-

2

2

sin(2ax+

π

4

)（3分）
因為y=f（x）的圖象與y=m相切．所以m為f（x）的最大值或最小值．
即m=

2

2

或m=

- 2

2

．
因為切點的橫坐標依次成公差為

π

2

的等差數列，所以f（x）的最小正周期為

π

2

．
由T=

2π

2a

=

π

2

得a=2．
∴f（x）=-

2

2

sin（4x+

π

4

）．
（Ⅱ）由題設知，∴f（x）=-

2

2

sin（4x+

π

4

），
由 2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z得 kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈Z
∴f（x）的單調減區間 [kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈Z（12分）

點評：本題考查平面向量數量積的運算、正弦函數的單調性，等差數列的性質，三角函數的周期性及其求法，三角函數的最值，是中檔題．