Question

設數列滿足且
（Ⅰ）求的值，使得數列為等比數列；（Ⅱ）求數列和的通項公式；
（Ⅲ）令數列和的前項和分別為和，求極限的值．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ），．
（Ⅲ）

（Ⅰ）令，其中為常數，若為等比數列，則存在使得
．
又．
所以．
由此得2分
由及已知遞推式可求得，把它們代入上式后得方程組
  消去解得．…4分
下面驗證當時，數列為等比數列．
 ，
，從而是公比為的等比數列．
同理可知是公比為的等比數列，于是為所求．……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）的結果得，，解得
，．…9分
（Ⅲ）令數列的通項公式為，它是公比為的等比數列，令其前項和為；令數列的通項公式為，它是公比為的等比數列，令其前項和為． 由第（Ⅱ）問得，．
． 由于數列的公比，則．
，由于，則，
于是，所以……12