Question

如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁內有一個內切球O，則過棱AA₁和BC的中點P、Q的直線與球面交點為M、N，則M、N兩點間的球面距離為（　�。�

• A、

  π

  3

• B、

  π

  2

• C、arccos

  2 3

  3

• D、arccos(-

  1

  6

  )

Answer 1

分析：欲求M、N兩點間的球面距離，關鍵是求出球心角∠MON，故只須求出弦MN的長，也就是要求出球心到直線MN的距離即可，為了求出球心距，利用三角形POQ求解即可．

解答：解：易知△OPQ為等腰三角形，|OP|=|OQ|=

2

，
可求得O到PQ的距離為d=

( 2 )2-( 6 2 )2

=

1

2

，
PQ的直線被球面截在球內的線段的長為2

1-( 1 2 )2

=

2

，
所以∠MON=

π

2

，
M、N兩點間的球面距離為

π

2

．
故選B．

點評：本題主要考查了球面距離及相關計算，以及空間想象力，屬于基礎題．