Question

（本小題共14分）

已知函數

（Ⅰ）試用含有a的式子表示b，并求的單調區間；

（Ⅱ）設函數的最大值為，試證明不等式：

（Ⅲ）首先閱讀材料：對于函數圖像上的任意兩點，如果在函數圖象上存在點，使得在點M處的切線，則稱AB存在“相依切線”特別地，當時，則稱AB存在“中值相依切線”。請問在函數的圖象上是否存在兩點，使得AB存在“中值相依切線”？若存在，求出一組A、B的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

解：（1），

所以，的增區間為，減區間為。

（2），即證

令，則

所以，是上的減函數，，即，證畢。

（3）假設函數的圖象上存在兩點，使得存在“中值相依切線”，則

，

又得

，

令，則，此式表示有大于1的實數根。

令，則，所以是的增函數。

所以與有大于1的實數根相矛盾，所以函數的圖象上不存在兩點，使得存在“中值相依切線”。