Question

選修4-1：平面幾何
如圖，△ABC是內接于⊙O，AB=AC，直線MN切⊙O于點C，弦BD∥MN，AC與BD相交于點E．
（1）求證：△ABE≌△ACD；
（2）若AB=6，BC=4，求AE．

Answer 1

分析：（1）在兩個三角形中，證明兩個三角形全等，找出三角形全等的條件，根據同弧所對的圓周角相等，根據所給的邊長相等，由邊角邊確定兩個三角形是全等三角形．
（2）根據角的等量代換得到一個三角形中兩個角相等，得到等腰三角形，得到BE=4，可以證明△ABE與△DEC相似，得到對應邊成比例，設出要求的邊長，得到關于邊長的方程，解方程即可．

解答：（1）證明：在△ABE和△ACD中，
∵AB=AC，∠ABE=∠ACD
又∠BAE=∠EDC
∵BD∥MN
∴∠EDC=∠DCN
∵直線是圓的切線，
∴∠DCN=∠CAD
∴∠BAE=∠CAD
∴△ABE≌△ACD
（2）解：∵∠EBC=∠BCM∠BCM=∠BDC
∴∠EBC=∠BDC=∠BACBC=CD=4
又∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB
∴BC=BE=4
設AE=x，易證△ABE∽△DEC
∴

DE

x

=

DC

AB

=

4

6

∴DE=

2

3

x
又AE•EC=BE•ED   EC=6-x
∴4×

2

3

x=x(6-x)
∴x=

10

3

即要求的AE的長是

10

3

點評：本題考查與圓有關的比例線段，考查圓內接多邊形的性質與判定，考查用方程思想解決幾何中要求的線段的長，本題是一個應用知識點比較多的題目．