Question

設函數f(x)=

1

3

x3-

a

2

x2+bx+c，其中a＞0，曲線y=f（x）在點P（0，f（0））處的切線方程為x軸
（1）若x=1為f（x）的極值點，求f（x）的解析式
（2）若過點（0，2）可作曲線y=f（x）的三條不同切線，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）考查導數的運用，理清題意，列出方程解出a、b、c，從而確定解析式
（2）考查學生構建函數能力，要求學生要有一定的轉化能力，利用導數求出函數的極大值和極小值，數形結合解決

解答：解：由f(x)=

1

3

x3-

a

2

x2+bx+c得：f（0）=c，f'（x）=x²-ax+b，f'（0）=b．
又由曲線y=f（x）在點P（0，f（0））處的切線方程為x軸，得f（0）=0，f'（0）=0．
故b=0，c=0．（2分）
（I）又f'（1）=0，
所以a=1，f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2（4分）
（II）f(x)=

1

3

x3-

a

2

x2，f′(x)=x2-ax．由于點（t，f（t））處的切線方程為y-f（t）=f'（t）（x-t），而點（0，2）在切線上，
所以2-f（t）=f'（t）（-t），
化簡得

2

3

t3-

a

2

t2+2=0，即t滿足的方程為

2

3

t3-

a

2

t2+2=0．（6分）
過點（0，2）可作y=f（x）的三條切線，等價于方程2-f（t）=f'（t）（0-t）
有三個相異的實根，即等價于方程

2

3

t3-

a

2

t2+2=0有三個相異的實根.設g(t)=

2

3

t3-

a

2

t2+2．g′(t)=2t2-at=2t(t-

a

2

)．由于a＞0，
故有
由g（t）的單調性知：要使g（t）=0有三個相異的實根，
當且僅當

g(0)＞0 g( a 2 )＜0

時滿足，
即

2＞0 2- a3 24 ＜0

，a＞2

3	6

．
∴a的取值范圍是(2

3	6

，+∞).（12分）

點評：本題考查導數的綜合運用以及數形結合的運用能力，對學生有一定的能力要求，有一定的難度