Question

等差數列{a_n}中，公差d不為0，且a₁，a₃，a₉恰好是某等比數列的前三項．
（1）求該等比數列的公比；
（2）這個等差數列中是否存在某一項恰好是這個等比數列的第四項，若存在，請求出是等差數列的第幾項；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可得a₃²=a₁•a₉，從而建立關于公差d的方程，解方程可求d，進而求出等比數列的公比；
（2）確定數列的通項，即可求得結論．

解答：解：（1）∵等差數列{a_n}中，a₁，a₃，a₉恰好是某等比數列的前三項
∴a₃²=a₁•a₉，
∴（a₁+2d）²=a₁•（a₁+8d），∴d²=a₁d，
∵d≠0，∴d，=a₁，∴q=

a3

a1

=3；
（2）由（1）知a_n=a₁+（n-1）×a₁=na₁，
∵a₁•3³=27a₁，
∴等差數列中第27項恰好是這個等比數列的第四項．

點評：本題考查了等差數列及等比數列的通項公式，考查學生的計算能力，屬于基礎題．