Question

如圖所示，在正三棱錐A-BCD中，E，F分別為BD，AD的中點，EF⊥CF，則直線BD與平面ACD所成的角為

 

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Answer 1

分析：設點A在面BCD內的射影為A′，由三棱錐A-BCD為正三棱錐，易得A′為△BCD中心，由線面垂直的判定定理可得AB⊥面ACD，即∠ADB為直線BD與平面ACD所成角，解三角形ADB可得直線BD與平面ACD所成的角．

解答：解：設點A在面BCD內的射影為A′
∵三棱錐A-BCD為正三棱錐
∴AB=AD
△BCD為正三角形
A′為△BCD中心
∴CD⊥BA′，
∵AA′⊥面BCD
∴CD⊥AB，
∵E、F分別為BD、AD的中點
∴EF∥AB，
∵EF⊥CF，
∴AB⊥CF
又∵AB⊥CD，CD∩CF=C
∴AB⊥面ACD，
∴AB⊥AD
∠ADB即為直線BD與平面ACD所成角
又∵AB=AD，AB⊥AD，
∴∠ADB=45°
∴直線BD與平面ACD所成角為45°
故答案為：45°

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，其中求出∠ADB為直線BD與平面ACD所成角是解答的關鍵．