Question

（本小題滿分12分）已知數(shù)列{a_n}，a₁＝1，a_n＝λa_n－1＋λ－2（n≥2）．

（1）當(dāng)λ為何值時(shí)，數(shù)列{a_n}可以構(gòu)成公差不為零的等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；

（2）若λ＝3，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n．

 

 

Answer 1

【答案】

解�。�1）a₂＝λa₁＋λ－2＝2λ－2，

a₃＝λa₂＋λ－2＝2λ²－2λ＋λ－2＝2λ²－λ－2，

∵a₁＋a₃＝2a₂，∴1＋2λ²－λ－2＝2（2λ－2），

得2λ²－5λ＋3＝0，解得λ＝1或λ＝．

當(dāng)λ＝時(shí)，a₂＝2×－2＝1，a₁＝a₂，故λ＝不合題意舍去；

當(dāng)λ＝1時(shí)，代入a_n＝λa_n－1＋λ－2可得a_n－a_n－1＝－1，

∴數(shù)列{a_n}構(gòu)成首項(xiàng)為a₁＝1，d＝－1的等差數(shù)列，

∴a_n＝2－n．

（2）當(dāng)λ＝3時(shí)，a_n＝3a_n－1＋1，

即a_n＋＝3（a_n－1＋），令b_n =a_n＋

即b_n＝3b_n－1，

∴數(shù)列{b_n}構(gòu)成首項(xiàng)為b₁＝，公比為3的等比數(shù)列，

∴b_n＝×3^n－1＝，

∴a_n=-

 

【解析】略