Question

下列命題正確的有    （把所有正確命題的序號填在橫線上）：
①若數列{a_n}是等差數列，且a_m+a_n=a_s+a_t（m、n、s、t∈N*），則m+n=s+t；
②若S_n是等差數列{a_n}的前n項的和，則S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n成等差數列；
③若S_n是等比數列{a_n}的前n項的和，則S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n成等比數列；
④若S_n是等比數列{a_n}的前n項的和，且S_n=Aqⁿ+B；（其中A、B是非零常數，n∈N*），則A+B為零．

Answer 1

【答案】分析：①取數列{a_n}為常數列，即可推出該命題是假命題；②根據等差數列的性質，推出2（S_2n-S_n）=S_n+（S_3n-S_2n），即可得到S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n，…為等差數列；③利用等比數列的特例判斷選項是否正確；④根據數列的前n項的和減去第n-1項的和得到數列的第n項的通項公式，即可得到此等比數列的首項與公比，根據首項和公比，利用等比數列的前n項和的公式表示出前n項的和，與已知的S_n=3ⁿ+b對比后，即可得到b的值．
解答：解：①取數列{a_n}為常數列，對任意m、n、s、t∈N*，都有a_m+a_n=a_s+a_t，故錯；
②設等差數列a_n的首項為a₁，公差為d，
則S_n=a₁+a₂+…+a_n，S_2n-S_n=a_n+1+a_n+2+…+a_2n=a₁+nd+a₂+nd+…+a_n+nd=S_n+n²d，
同理：S_3n-S_2n=a_2n+1+a_2n+2+…+a_3n=a_n+1+a_n+2+…+a_2n+n²d=S_2n-S_n+n²d，
∴2（S_2n-S_n）=S_n+（S_3n-S_2n），
∴S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n是等差數列．此選項正確；
③設a_n=（-1）ⁿ，
則S₂=0，S₄-S₂=0，S₆-S₄=0，
∴此數列不是等比數列，此選項錯；
④因為a_n=S_n-S_n-1=（Aqⁿ+B）-（Aq^n-1+B）=Aqⁿ-Aq^n-1=（Aq-1）×q^n-1，
所以此數列為首項是Aq-1，公比為q的等比數列，
則S_n=，
所以B=，A=-，∴A+B=0，故正確；
故答案為②④．
點評：此題考查學生靈活運用等差、等比數列的性質化簡求值，是一道綜合題．屬中檔題．