Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，PD=DC=4，AD=2，E為PC的中點．
（Ⅰ）求證：AD⊥PC；
（Ⅱ）求三棱錐A-PDE的體積；
（Ⅲ）AC邊上是否存在一點M，使得PA∥平面EDM，若存在，求出AM的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證AD⊥PC，先證AD⊥面PDC，就是從線面垂直進而推證線線垂直．
（Ⅱ）求三棱錐A-PDE的體積，先求底面PDE的面積，然后求解．
（Ⅲ）PA∥平面EDM，只要PA∥EM即可，找出再證明求解即可．

解答：解：（Ⅰ）證明：因為PD⊥平面ABCD，
所以PD⊥AD．（2分）
又因為ABCD是矩形，
所以AD⊥CD．（3分）
因為PD∩CD=D，
所以AD⊥平面PCD．
又因為PC?平面PCD，
所以AD⊥PC．（5分）
（Ⅱ）解：因為AD⊥平面PCD，
所以AD是三棱錐A-PDE的高．
因為E為PC的中點，且PD=DC=4，
所以S△PDE=

1

2

S△PDC=

1

2

×(

1

2

×4×4)=4．（7分）
又AD=2，
所以VA-PDE=

1

3

AD•S△PDE=

1

3

×2×4=

8

3

．（9分）
（Ⅲ）解：取AC中點M，連接EM，DM，
因為E為PC的中點，M是AC的中點，
所以EM∥PA．
又因為EM?平面EDM，PA?平面EDM，
所以PA∥平面EDM．（12分）
所以AM=

1

2

AC=

5

．
即在AC邊上存在一點M，使得PA∥平面EDM，AM的長為

5

．（14分）

點評：本體是一道綜合考查學生幾何結構的題目，是基礎題．