Question

（本小題滿分12分）
在四棱錐中，平面，底面為矩形，.
（I）當(dāng)時(shí)，求證：；
（II）若邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)，使得，求此時(shí)二面角的余弦值.

Answer 1

（I）略（II）

（I）當(dāng)時(shí)，底面為正方形，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823120108602341.gif" style="vertical-align:middle;" />,面…………………………2分
又面
…………………………3分
（II）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823120108758391.gif" style="vertical-align:middle;" />兩兩垂直，分別以它們所在直線為軸、軸、軸建立坐標(biāo)系，如圖所示，令，可得

則…………………4分
設(shè)，則
要使，只要
即………6分
由，此時(shí)。
所以邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)，使得時(shí)，
為的中點(diǎn)，且…………………………8分
設(shè)面的法向量
則即解得…………………………10分
取平面的法向量
則的大小與二面角的大小相等
所以
因此二面角的余弦值為…………………………12分