Question

（2012•資陽三模）設定義域為[x₁，x₂]的函數y=f（x）的圖象為C，圖象的兩個端點分別為A、B，點O為坐標原點，點M是C上任意一點，向量

OA

=（x₁，y₁），

OB

=（x₂，y₂），

OM

=（x，y），滿足x=λx₁+（1-λ）x₂（0＜λ＜1），又有向量

ON

=λ

OA

+（1-λ）

OB

，現定義“函數y=f（x）在[x₁，x₂]上可在標準k下線性近似”是指|

MN

|≤k恒成立，其中k＞0，k為常數．根據上面的表述，給出下列結論：
①A、B、N三點共線；
②直線MN的方向向量可以為

a

=（0，1）；
③“函數y=5x²在[0，1]上可在標準1下線性近似”；
④“函數y=5x²在[0，1]上可在標準

5

4

下線性近似”．
其中所有正確結論的番號為

①②④

．

Answer 1

分析：由條件推出

BN

=λ

BA

，故①成立；說明M，N的橫坐標相同即可；對于函數y=5x²在[0，1]上，求出M（1-λ，5（1-λ）²），N（1-λ，5（1-λ）），|

MN

|=

25[(λ- 1 2 )2+ 1 4 ]2

≤

5

4

，故④成立，③不成立，從而得到答案．

解答：解：由

ON

=λ

OA

+（1-λ）

OB

，得

ON

-

OB

=λ(

OA

-

OB

)，即

BN

=λ

BA

故①成立；
∵向量

OA

=（x₁，y₁），

OB

=（x₂，y₂），向量

ON

=λ

OA

+（1-λ）

OB

，
∴向量

ON

的橫坐標為λx₁+（1-λ）x₂（0＜λ＜1），
∵

OM

=（x，y），滿足x=λx₁+（1-λ）x₂（0＜λ＜1），
∴MN∥y軸
∴直線MN的方向向量可以為

a

=（0，1），故②成立
對于函數y=5x²在[0，1]上，易得A（0，0），B（1，5），
所以M（1-λ，5（1-λ）²），N（1-λ，5（1-λ）），
從而|

MN

|=

52(1-λ)2-(1-λ))2

=

25[(λ- 1 2 )2+ 1 4 ]2

≤

5

4

，
故函數y=5x²在[0，1]上可在標準

5

4

下線性近似”，故④成立，③不成立，
故答案為：①②④

點評：本題考查兩個向量坐標形式的運算，求出M（1-λ，5（1-λ）²），N（1-λ，5（1-λ）），正確理解新定義是解題的關鍵．