Question

已知定義在R上的函數f（x）滿足：①函數y=f（x-2）的圖象關于直線x=2對稱；②f（x+2）=-f（x）；③f（x）在[-2，0]上是增函數．
下列關于f（x）的命題：
①函數f（x）是周期函數；
②函數f（x）的圖象關于直線x=2對稱；
③函數f（x）在[0，1]上是增函數；
④函數f（x）在[2，4]上是減函數；
⑤f（4）=f（0）．
其中真命題是

①②④⑤

（寫出所有正確結論的序號）

Answer 1

分析：根據函數的奇偶性和周期性的定義，可得函數y=f（x）既是偶函數又是周期為4的周期函數，再根據函數周期性、奇偶性和單調性之間的聯系，對五個選項逐個加以判斷，即可得到正確答案．

解答：解：對于①，根據條件（2），可得f（x+4）=-f（x+2）=f（x），所以函數f（x）的最小正周期是4，故①正確；
對于②，根據條件（1），可得函數y=f（x）的圖象關于直線x=0對稱，所以函數y=f（x）是偶函數，
結合周期為4，可得f（2+x）=f（x-2）=f（2-x），所以函數f（x）的圖象關于直線x=2對稱，故②正確；
對于③，因為函數f（x）是偶函數且在[-2，0]上是增函數，所以f（x）在[0，2]上是減函數，則在[0，1]上不是增函數，故③不正確；
對于④，因為函數函數f（x）在[-2，0]上是減函數且最小正周期是4，故函數f（x）在[2，4]上是減函數，得到④正確；
對于⑤，因為函數f（x）最小正周期是4，故f（4）=f（0），得到⑤正確．
故答案為：①②④⑤

點評：本題以命題真假的判斷為載體，著重考查函數奇偶性、單調性、周期性和圖象的對稱性等概念，屬于中檔題，準確理解函數的性質與表達式之間的內在聯系，是解決本題的關鍵．