Question

（本小題滿分14分）已知雙曲線的左、右頂點分別為，點，是雙曲線上不同的兩個動點.
（1）求直線與交點的軌跡E的方程
（2若過點的兩條直線和與軌跡E都只有一個交點，且，求的值.

Answer 1

，

解法一：
聯立①②解得交點坐標為，  ③
則.
而點在雙曲線上，.
將③代入上式，整理得所求軌跡E的方程為[    .

因為點P，Q是雙曲線上的不同兩點，所以它們與點均不重合，故點均不在軌跡E上.
過點（0,1）及的直線的方程為.解方程組得.所以直線與雙曲線只有唯一交點.
故軌跡E不經過點（0,1）.同理軌跡E也不經過點（0,-1）.
綜上分析，軌跡E的方程為.
（2）設過點的直線為，聯立得
.
令，
解得.
由于，則.
過點分別引直線通過軸上的點，且使，因此,由，此時，
的方程分別為，
它們與軌跡分別僅有一個交點
所以符合條件的的值為