Question

已知數列{a_n}中，a₁=-10，且經過點A（a_n，a_n+1），B（2ⁿ，2ⁿ⁺²）兩點的直線斜率為2，n∈N^*
（1）求證數列{

an

2n

}是等差數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列{a_n}的最小項．

Answer 1

分析：（1）直接利用直線AB的斜率為2把已知條件代入整理即可得a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹，再按定義證明數列{

an

2n

}是等差數列，進而求出數列{a_n}的通項公式；
（2）把數列{a_n}的相鄰兩項作差，可以求出數列{a_n}的遞增遞減規律，即可求出數列{a_n}的最小項．

解答：解：（1）直線AB的斜率為

an+1-2n+2

an-2n

=2，化簡得a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹.

an+1

2n+1

-

an

2n

=

an+1-2an

2n+1

=

2n+1

2n+1

=1，所以數列{

an

2n

}是以1為公差的等差數列．
其首項為

a1

2

=-5，所以

an

2n

=-5+(n-1)×1=n-6，
數列{a_n}的通項公式a_n=（n-6）2ⁿ．
（2）a_n+1-a_n=（n-5）2ⁿ⁺¹-（n-6）2ⁿ=2ⁿ（n-4），
解不等式2ⁿ（n-4）＞0得n＞4；解不等式2ⁿ（n-4）＜0得n＜4；
解方程2ⁿ（n-4）=0，解得n=4．
綜上所述：
n＞4時，a_n+1＞a_n；
n＜4時，a_n+1＜a_n；
n=4時，a_n+1=a_n．
所以a₁＜a₂＜a₃＜a₄=a₅＞a₆＞a₇＞最小項為a₄和a₅，且a₄=a₅=-32．

點評：本題主要考查數列遞推關系式的應用以及用定義來證明一個數列為等差數列，是對基礎知識的綜合考查，屬于中檔題．