Question

蜜蜂被認為是自然界中最杰出的建筑師，單個蜂巢可以近似地看作是一個正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖．其中第一個圖有1個蜂巢，第二個圖有7個蜂巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規律，以f（n）表示第n幅圖的蜂巢總數．則f（4）=

37

；f（n）=

3n²-3n+1

．

Answer 1

分析：根據圖象的規律可得相鄰兩項的差的規律可分析得出f（n）-f（n-1）=6（n-1），進而根據合并求和的方法求得f（n）的表達式．

解答：解：由于f（2）-f（1）=7-1=6，
f（3）-f（2）=19-7=2×6，
f（4）-f（3）=37-19=3×6，
f（5）-f（4）=61-37=4×6，…
因此，當n≥2時，有f（n）-f（n-1）=6（n-1），
所以f（n）=[f（n）-f（n-1）]+[f（n-1）-f（n-2）]+…+[f（2）-f（1）]+f（1）=6[（n-1）+（n-2）+…+2+1]+1=3n²-3n+1．
又f（1）=1=3×1²-3×1+1，所以f（n）=3n²-3n+1．
當n=4時，f（4）=3×4²-3×4+1=37．
故答案為：37；3n²-3n+1．

點評：本題主要考查了數列的問題、歸納推理．屬于基礎題．