Question

定義在上的函數，如果滿足：對任意，存在常數，都有 成立，則稱是上的有界函數，其中稱為函數的一個上界．已知函數，．

（1）若函數為奇函數，求實數的值；

（2）在（1）的條件下，求函數在區間上的所有上界構成的集合；

（3）若函數在上是以3為上界的有界函數，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

（1）;（2）；（3）.

【解析】

試題分析：(1)因為為奇函數，所以利用,求出的值；(2) 在（1）的條件下，證明的單調性，在恒成立，即,根據單調性，可以求出其最大值；(3) 若函數在上是以3為上界的有界函數，則,將函數代入，反解,,利用函數的單調性求出他們的最大，和最小值，就是的范圍.

試題解析：【解析】
（1）因為函數為奇函數，

所以，即，

即，得，而當時不合題意，故． 4分

（2）由（1）得：，

下面證明函數在區間上單調遞增，

證明略． 6分

所以函數在區間上單調遞增，

所以函數在區間上的值域為，

所以，故函數在區間上的所有上界構成集合為． 8分

（3）由題意知，在上恒成立．

，．

在上恒成立．

10分

設，，，由得,

設，，

,

所以在上遞減，在上遞增， 12分

在上的最大值為，在上的最小值為 ．

所以實數的取值范圍為． 14分

考點：1.函數的奇偶性；2.函數的單調性；3.函數的最值.