Question

半徑為1的球面上有A，B，C三點，其中A和B的球面距離，A和C的球面距離都是

π

2

，B和C的球面距離是

π

3

．
（1）求球心O到平面ABC的距離；
（2）求異面直線OA和BC的距離；
（3）求二面角B-AC-O的大小．

Answer 1

分析：（1）由已知A和B的球面距離，A和C的球面距離都是

π

2

，B和C的球面距離是

π

3

，我們可以得到AO⊥面BOC，求出三棱錐O-ABC的體積及三角形ABC的面積，即可求出球心O到平面ABC的距離；
（2）過O作OD⊥BC，可證得OD為異面直線OA和BC的公垂線段，即為異面直線OA和BC的距離，解△OBC，即可得到OD的長，進而得到異面直線OA和BC的距離；
（3）過B作BE⊥OC，可證得BE⊥面AOC，則△ABC在面AOC內的投影為△AEC，則S_△ABC•cosθ=S_△AEC（其中θ為二面角B-AC-O的大小），分別求出兩個三角形的面積，即可求出二面角B-AC-O的大小．

解答：解：（1）由題意知：∠AOC=

π

2

，∠AOB=

π

2

，∠BOC=

π

3

，∴AO⊥面BOC
∵OA=OB=OC=1，∴AB=AC=

2

，BC=1．
∵VA-OBC=

1

3

S△OBC|AO|=

3

12

又VA-OBC=

1

3

S△ABC•h（h為O到平面ABC的距離）
∵S△ABC=

7

4

∴h=

21

7

∴球心O到平面ABC的距離

21

7

（4分）
（2）過O作OD⊥BC，∵AO⊥面BOC，且OD?面BOC，∴OD⊥AO，
∴OD為異面直線OA和BC的公垂線段，即為異面直線OA和BC的距離．
又∵△OBC為等邊三角形，且邊長為1．所以OD=

3

2

異面直線OA和BC的距離為

3

2

（8分）
（3）過B作BE⊥OC，∵△BOC為等邊三角形，∴則垂足為OC的中點．
∵AO⊥面BOC且BE?面BOC，
∴AO⊥BE，又，BE⊥OC，OA∩OC=O．∴BE⊥面AOC
∴△ABC在面AOC內的投影為△AEC
∵S_△ABC•cosθ=S_△AEC（其中θ為二面角B-AC-O的大小）S△ABC=

7

4

，S△AEC=

1

4

∴cosθ=

7

7

∴二面角B-AC-O的大小：arccos

7

7

（12分）

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，空間點到平面的距離及異面直線的距離，（1）中問題常用體積來進行解答，即求出棱錐的體積及底面積，代入得到頂點到底面的距離，（2）的關鍵是找到公垂線段，（3）的關鍵是得到BE⊥面AOC，進而得到△ABC在面AOC內的投影為△AEC，并根據S_△ABC•cosθ=S_△AEC得到答案．