Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知頂點A上三條棱長分別是

2

、

3

、2．如果對角線AC₁與過點A的相鄰三個面所成的角分別是α、β、γ，那么cos²α+cos²β+cos²γ=

 

．

Answer 1

分析：跟據題意知，分別找出對角線AC₁與面AB₁所成的角為∠C₁AB₁=α，與面AD₁所成的角為∠C₁AD₁=β；與面AC所成的角為∠C₁AC=γ；，并且求出它們的余弦值，可求cos²α+cos²β+cos²γ的值．

解答：解：∵B₁C₁⊥面AB₁，
∴AC₁與面AB₁所成的角為∠C₁AB₁=α；
同理AC₁與面AD₁所成的角為∠C₁AD₁=β；
AC₁與面AC所成的角為∠C₁AC=γ；
∵AB=2，AD=

2

，AA₁=

3

，
∴AC₁=3，AC=

6

，AB=

7

，AD₁=

5

，
∴cosα=

AB1

AC1

=

7

3

，cosβ=

AD1

AC1

=

5

3

，cosγ=

AC

AC1

=

6

3

，
∴cos²α+cos²β+cos²γ=

7

9

+

5

9

+

6

9

=2，
故答案為2．

點評：考查直線和平面所成的角，關鍵是找到斜線在平面內的射影，把空間角轉化為平面角求解，屬中檔題．