Question

（2013•貴陽二模）已知點P是雙曲線C：

x2

3

-

y2

6

=1上一點，過P作C的兩條逐漸近線的垂線，垂足分別為A，B兩點，則

PA

•

PB

等于（　　）

• A．

  2

  3

• B．-

  2

  3

• C．0
• D．1

Answer 1

分析：確定兩條漸近線方程，設雙曲線C上的點P（x₀，y₀），求出點P到兩條漸近線的距離，利用P（x₀，y₀）在雙曲線C上，及向量的數量積公式，即可求得結論．

解答：解：由條件可知：兩條漸近線分別為l₁：

2

x-y=0，l₂：

2

x+y=0
設雙曲線C上的點P（x₀，y₀），則點P到兩條漸近線的距離分別為|

PA

|=

| 2 x0-y0|

3

，
|

PB

|=

| 2 x0+y0|

3

，所以|

PA

||

PB

|=

| 2 x0-y0|

3

×

| 2 x0+y0|

3

=|

2 x 2 0 - y 2 0

3

|
因為P（x₀，y₀）在雙曲線C上，所以

x 2 0

3

-

y 2 0

6

=1，即2x

2 0

-y

2 0

=6
故|

PA

||

PB

|=2
設

PA

與

PB

的夾角為θ，得cosθ=

1

3

，
則

PA

•

PB

=

2

3

．
故選A．

點評：本題考查雙曲線的標準方程，考查直線與雙曲線的位置關系，考查向量知識，考查學生的計算能力，屬于中檔題．