Question

給出函數封閉的定義：若對于定義域D內的任一個自變量x₀，都有函數值f（x₀）∈D，則稱函數y=f（x）在D上封閉．
（1）若定義域D₁=（0，1），判斷下列函數中哪些在D₁上封閉，且給出推理過程f₁（x）=2x-1，f₂（x）=-

1

2

x2-

1

2

x+1，f₃（x）=2^x-1，f₄（x）=cosx．；
（2）若定義域D₂=（1，2），是否存在實數a使函數f（x）=

5x-a

x+2

在D₂上封閉，若存在，求出a的值，并給出證明，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）若定義域D₁=（0，1），則f₁（

1

2

）=0∉D，故f（x）在D₁上不封閉；f₂（x）∈（0，1）⇒f₂（x）在D₁上封閉；f₃（x）∈（0，1）⇒f₃（x）在D₁上封閉；₄（x）∈（cos1，1）?（0，1）⇒f₄（x）在D₁上封閉；
（2）由f（x）=5-

a+10

x+2

，假設f（x）在D₂上封閉，可分a+10＞0，a+10=0，a+10＜0，三種情況討論f（x）在D₂上封閉時a的取值，最后綜合討論結果，可得答案．

解答：解：（1）∵f₁（

1

2

）=0∉（0，1），
∴f（x）在D₁上不封閉；
∵f₂（x）=-（x+

1

2

）²+

9

8

在（0，1）上是減函數，
∴0＜f₂（1）＜f₂（x）＜f₂（0）=1，
∴f₂（x）∈（0，1）⇒f₂（x）在D₁上封閉；
∵f₃（x）=2^x-1在（0，1）上是增函數，∴0=f₃（0）＜f₃（x）＜f₃（1）=1，
∴f₃（x）∈（0，1）⇒f₃（x）在D₁上封閉；
∵f₄（x）=cosx在（0，1）上是減函數，∴cos1=f₄（1）＜f₄（x）＜f₄（0）=1，
∴f₄（x）∈（cos1，1）?（0，1）⇒f₄（x）在D₁上封閉；
（2）f（x）=5-

a+10

x+2

，假設f（x）在D₂上封閉，對a+10討論如下：
若a+10＞0，則f（x）在（1，2）上為增函數，故應有

f(1)≥1 f(2)≤2

⇒

a≤2 a≥2

⇒a=2 
若a+10=0，則f（x）=5，此與f（x）∈（1，2）不合，
若a+10＜0，則f（x）在（1，2）上為減函數，故應有

f(1)≤2 f(2)≥1

⇒

a≥-1 a≤-6

，無解，
綜上可得，a=2時f（x）在D₂上封閉．

點評：本題考查的知識點是函數單調的判斷與證明，二次函數的性質，指數函數的單調性，余弦函數的單調性，其中正確理解新定義函數y=f（x）在D上封閉是解答本題的關鍵．