Question

已知點F₁（-1，0），F₂（1，0），動點P滿足|PF1|+|PF2|=2

3

．
（1）求點P的軌跡C的方程；
（2）若直線l：y=kx+2與軌跡C交于A、B兩點，且

OA

•

OB

=0（其中O為坐標原點），求k的值．

Answer 1

分析：（1）由題意：|PF₁|+|PF₂|=2

3

＞|F₁F₂|，根據橢圓的定義即可求出點P的軌跡C的方程；
（2）將直線l方程與橢圓C聯解消去y，得到關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系結合數量積的坐標運算公式，建立關于k的方程，解之即可得到實數k的值．

解答：解：（1）∵點F₁（-1，0）、F₂（1，0），|PF₁|+|PF₂|=2

3

＞|F₁F₂|，
∴點P的軌跡C是以F₁、F₂為焦點且長軸2a=2

3

的橢圓，可得a=

3

，b=

a2-c2

=

2

因此，點P的軌跡C的方程為

x2

3

+

y2

2

=1．
（2）直線l：y=kx+2與

x2

3

+

y2

2

=1聯列，消去y得：（3k²+2）x²+12kx+6=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由根與系數關系可得
x₁+x₂=

-12k

3k2+2

，x₁x₂=

6

3k2+2

則y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
=

6k2

3k2+2

-

24k2

3k2+2

+4=

8-6k2

3k2+2

∵

OA

•

OB

=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即

6

3k2+2

+

8-6k2

3k2+2

=0，解之得k=±

21

3

點評：本題給出直線與橢圓相交于A、B兩點，在A、B對原點的張角為90度時，求直線的斜率k之值．著重考查了平面向量數量積的運算、直線與圓錐曲線位置關系等知識，屬于基礎題．