Question

對a、b∈R，記max{a，b}=

a，a≥b b，a＜b

，函數f（x）=max{|x+1|，|x-2|}（x∈R）．
（1）作出f（x）的圖象，并寫出f（x）的解析式；
（2）若函數h（x）=x²-λf（x）在（-∞，-1]上是單調函數，求λ的取值范圍．
（3）當x∈[1，+∞）時，函數h（x）=x²-λf（x）的最小值為2，求λ的值．

Answer 1

分析：（1）根據|x+1|和|x-2|的大小關系，結合新定義畫函數的圖象，寫出函數f（x）的解析式故f（x）=

x+1   x≥ 1 2 -x+2    x＜ 1 2

（2）h（x）=x²-λf（x）=

x2-λ(x+1 )  x≥ 1 2 x2-λ(-x+2)    x＜ 1 2

若在（-∞，-1]上是單調函數，則要求第二段在（-∞，-1]上是單調函數．
（3）當x∈[1，+∞）時，h（x）=x²-λ（x+1），利用二次函數圖象與性質求其最小值，得出關于λ的方程求解．注意分類討論．

解答：解：解：由|x+1|≥|x-2|⇒（x+1）²≥（x-2）²⇒x≥

1

2

，故f（x）=

|x+1|，x≥ 1 2 ||x-2|    x＜ 1 2

=

x+1   x≥ 1 2 -x+2    x＜ 1 2

其圖象如右，其圖象如右，
（2）h（x）=x²-λf（x）=

x2-λ(x+1 )  x≥ 1 2 x2-λ(-x+2)    x＜ 1 2

若在（-∞，-1]上是單調函數，則要求第二段在（-∞，-1]上是單調函數，對稱軸x=-

λ

2

≥-1，解得λ≤2
（3）當x∈[1，+∞）時，h（x）=x²-λ（x+1）
對稱軸x=

λ

2

，
當

λ

2

≤1，即λ≤2時，h（x）在[1，+∞）上單調遞增，最小值為h（1）=1-2λ=2，得λ=-

1

2

當

λ

2

＞1，即λ＞2時，最小值為h（

λ

2

）=

-4λ-λ2

4

=2，此時無解
綜上所述，λ=-

1

2

點評：本題考查分段函數的單調性，最大值，轉化為二次函數問題．要具有閱讀理解能力、轉化計算能力、分類討論的思想方法．