Question

 正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱長為1，E、F、G分別為棱AA₁、CC₁、A₁B₁的中點，則下列幾個命題：

    ①在空間中與三條直線A₁D₁，EF，CD都相交的直線有無數條;

②點G到平面ABC₁D₁的距離為

③直線AA₁與平面ABC₁D₁所成的角等于45°；

④空間四邊形ABCD₁在正方體六個面內形成六個射影，其面積的最小值是

⑤直線A₁C₁與直線AG所成角的余弦值為;

⑥若一直線PQ既垂直于A₁D,又垂直于AC,則直線PQ與BD₁是垂直不相交的關系．

其中真命題是              ．（寫出所有真命題的序號）

 

Answer 1

【答案】

 ①③④⑤；解析：在EF上任意取一點M,直線與M確定一個平面，這個平面與CD有且僅有1個交點N, 當M取不同的位置就確定不同的平面，從而與CD有不同的交點N,而直線MN與這3條異面直線都有交點的．所以①正確;

易求得點G到平面ABC₁D₁的距離為,

所以②錯;根據線面角的定義知③正確;

空間四邊形ABCD₁在正方體的面AA₁D₁D內形成的射影面積為是在正方體六個面內形成六個射影面積的最小值,所以④正確;

由于AC∥A₁C₁,因此,直線AC與直線AG所成角等于直線A₁C₁與直線AG所成的角,所以余弦值為,

所以⑤正確;

由線面垂直的性質定理易知直線PQ與BD₁是平行的關系．所以⑥錯．