Question

已知a，b，c，d是不全為零的實數，函數f（x）=bx²+cx+d，g（x）=ax³+bx²+cx+d．方程f（x）=0有實數根，且f（x）=0的實數根都是g（f（x））=0的根；反之，g（f（x））=0的實數根都是f（x）=0的根．
（1）求d的值；
（2）若a=0，求c的取值范圍；
（3）若a=1，f（1）=0，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：解：（1）不妨設r為方程的一個根，即f（r）=0，則由題設得g（f（r））=0．進而有g（0）=g（f（r））=0，再由g（0）=d求解．
（2）由（1）知f（x）=bx²+cx，g（x）=ax³+bx²+cx．所以有g（f（x））=x（bx+c）[bx（bx+c）+c]=x（bx+c）（b²x²+bcx+c）．而方程f（x）=0即為x（bx+c）=0．①方程g（f（x））=0即為x（bx+c）（b²x²+bcx+c）=0．②最后按方程的類型，分（ⅰ）當c=0時，b≠0，（ⅱ）當c≠0，b=0（ⅲ）當c≠0，b≠0討論．
（3）由a=1，f（1）=0得b=-c，將函數的系數都用c表示：f（x）=bx²+cx=cx（-x+1），g（f（x））=f（x）[f²（x）-cf（x）+c]．由f（x）=0可以推得g（f（x））=0，知方程f（x）=0的根一定是方程g（f（x））=0的根．然后，按照c=0和c≠兩種情況，用判別式判斷求解．

解答：解：（1）設r為方程的一個根，即f（r）=0，則由題設得g（f（r））=0．
于是，g（0）=g（f（r））=0，即g（0）=d=0．
所以，d=0．
（2）由題意及（1）知f（x）=bx²+cx，g（x）=ax³+bx²+cx．
由a=0得b，c是不全為零的實數，且g（x）=bx²+cx=x（bx+c），
則g（f（x））=x（bx+c）[bx（bx+c）+c]=x（bx+c）（b²x²+bcx+c）．
方程f（x）=0就是x（bx+c）=0．①
方程g（f（x））=0就是x（bx+c）（b²x²+bcx+c）=0．②
（ⅰ）當c=0時，b≠0，方程①、②的根都為x=0，符合題意．
（ⅱ）當c≠0，b=0時，方程①、②的根都為x=0，符合題意．
（ⅲ）當c≠0，b≠0時，方程①的根為x₁=0，x2=-

c

b

，它們也都是方程②的根，但它們不是方程b²x²+bcx+c=0的實數根．
由題意，方程b²x²+bcx+c=0無實數根，此方程根的判別式△=（bc）²-4b²c＜0，得0＜c＜4．
綜上所述，所求c的取值范圍為[0，4）．
（3）由a=1，f（1）=0得b=-c，f（x）=bx²+cx=cx（-x+1），g（f（x））=f（x）[f²（x）-cf（x）+c]．③
由f（x）=0可以推得g（f（x））=0，知方程f（x）=0的根一定是方程g（f（x））=0的根．
當c=0時，符合題意．
當c≠0時，b≠0，方程f（x）=0的根不是方程f²（x）-cf（x）+c=0④的根，
因此，根據題意，方程④應無實數根．
那么當（-c）²-4c＜0，即0＜c＜4時，f²（x）-cf（x）+c＞0，符合題意．
當（-c）²-4c≥0，即c＜0或c≥4時，由方程④得f(x)=-cx2+cx=

c± c2-4c

2

，
即cx2-cx+

c± c2-4c

2

=0，⑤
則方程⑤應無實數根，
所以有(-c)2-4c

c+ c2-4c

2

＜0且(-c)2-4c

c- c2-4c

2

＜0．
當c＜0時，只需-c2-2c

c2-4c

＜0，解得0＜c＜

16

3

，矛盾，舍去．
當c≥4時，只需-c2+2c

c2-4c

＜0，解得0＜c＜

16

3

．
因此，4≤c＜

16

3

．
綜上所述，所求c的取值范圍為[0，

16

3

)．

點評：本題主要考查了函數與方程的綜合運用，主要涉及了方程的根，函數的最值，還考查了分類討論思想，轉化思想．