Question

已知數列{a_n}是等差數列,數列{b_n}是等比數列,且對任意的,都有.
（1）若{b_n }的首項為4,公比為2,求數列{a_n+b_n}的前n項和S_n;
（2）若 ，試探究:數列{b_n}中是否存在某一項,它可以表示為該數列中其它項的和？若存在,請求出該項；若不存在,請說明理由．

Answer 1

（1）  ；（2）不存在.

試題分析：對任意的,都有.
所以( )兩式相減可求  
（1）由于等比數{b_n }的首項為4,公比為2,可知 ,于是可求得 ,
再將數列{a_n+b_n}的前n項和拆分為等差數列{a_n}的前項和與等比數列的前 項和之和.
（2）由,    假設存在一項 ,可表示為 
一方面, ,另一方面,
 
兩者相矛盾K值不存在.
試題解析：
解:（1）因為,所以當時,
,
兩式相減,得,
而當n=1時,,適合上式,從而,3分
又因為{b_n}是首項為4,公比為2的等比數列,即,所以，4分
從而數列{a_n+b_n}的前項和；6分
（2）因為，,所以，. 8分
假設數列{b_n}中第k項可以表示為該數列中其它項的和,即,從而,易知 ,(*) 9分
又,
所以,此與(*)矛盾,從而這樣的項不存在． 12分 項和公式；2、拆項求和.