Question

已知點F₁，F₂分別是雙曲線的左、右焦點，過F₁且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若△ABF₂是銳角三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：先求出A，B兩點的縱坐標，由△ABF₂是銳角三角形知，tan∠AF₂F₁=＜1，e²-2e-1＜0，解不等式求出e 的范圍．
解答：解：在雙曲線中，
令x=-c 得，y=±，∴A，B兩點的縱坐標分別為±．
由△ABF₂是銳角三角形知，∠AF₂F₁＜，tan∠AF₂F₁=＜tan=1，
∴＜1，c²-2ac-a²＜0，e²-2e-1＜0，∴1-＜e＜1+．
又 e＞1，∴1＜e＜1+，
故選D．
點評：本題考查雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用，判斷∠AF₂F₁＜，tan=＜1，是解題的關鍵．