Question

（2012•長寧區二模）定義：對函數y=f（x），對給定的正整數k，若在其定義域內存在實數x₀，使得f（x₀+k）=f（x₀）+f（k），則稱函數f（x）為“k性質函數”．
（1）判斷函數f(x)=

1

x

是否為“k性質函數”？說明理由；
（2）若函數f(x)=lg

a

x2+1

為“2性質函數”，求實數a的取值范圍；
（3）已知函數y=2^x與y=-x的圖象有公共點，求證：f（x）=2^x+x²為“1性質函數”．

Answer 1

分析：（1）利用新定義可得x02+kx0+k2=0，從而可得△＜0，方程無實數根；
（2）用新定義可得(a-5)

x

2 0

+4ax0+5a-5=0，對參數a討論，即可求實數a的取值范圍；
（3）由條件存在m使2^m=-m，進而作差可得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1），由此可得結論．

解答：（1）解：若存在x₀滿足條件，則

1

x0+k

=

1

x0

+

1

k

即x02+kx0+k2=0，…．（2分）
∵△=k²-4k²=-3k²＜0，∴方程無實數根，與假設矛盾．
∴f(x)=

1

x

不能為“k性質函數”．       …．（4分）
（2）解：由條件得：lg

a

(x0+2)2+1

=lg

a

x 2 0 +1

+lg

a

5

，…．（5分）
即

a

( x   0 +2)2+1

=

a2

5( x 2 0 +1)

（a＞0），化簡得(a-5)

x

2 0

+4ax0+5a-5=0，…．（7分）
當a=5時，x₀=-1；…．（8分）
當a≠5時，由△≥0，16a²-20（a-5）（a-1）≥0，即a²-30a+25≤0，∴15-10

2

≤a≤15+10

2

．
綜上，a∈[15-10

2

，15+10

2

]．…．（10分）
（3）證明：由條件存在m使2^m=-m，…．（11分）
∵f(x0+1)=2x0+1+(x0+1)2，f(x0)+f(1)=2x0+

x

2 0

+3，
∴f(x0+1)-f(x0)-f(1)=2•2x0+

x

2 0

+2x0+1-2x0-

x

2 0

-3
=2x0+2x0-2=2[2x0-1+(x0-1)]，…．（14分）
令x₀=m+1，則∵2^m=-m，∴2x0-1+(x0-1)=0
∴f（x₀+1）-f（x₀）-f（1）=0
∴f（x₀+1）=f（x₀）+f（1），
∴f（x）=2^x+x²為“1性質函數”．…．（16分）

點評：本題考查新定義，考查學生的計算能力，解題的關鍵是正確理解新定義，屬于中檔題．