Question

已知定點(diǎn)，B是圓（C為圓心）上的動點(diǎn)，AB的垂直平分線與BC交于點(diǎn)E．
（1）求動點(diǎn)E的軌跡方程；
（2）設(shè)直線l：y=kx+m（k≠0，m＞0）與E的軌跡交于P，Q兩點(diǎn)，且以PQ為對角線的菱形的一頂點(diǎn)為（-1，0），求：△OPQ面積的最大值及此時(shí)直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)|EA|=|EB|可判斷出|EA|+|EC|=|EB|+|EC|進(jìn)而根據(jù)橢圓的定義可知點(diǎn)E的軌跡是以A，C為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓，E的軌跡方程可得．
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中點(diǎn)為（x，y）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)判別式大于0求得k與m的不等式關(guān)系；同時(shí)根據(jù)AB的垂直平分線與BC，可分別表示出兩直線的斜率使其乘積等于-1求得k和m的關(guān)系式，進(jìn)而可求得k的范圍．設(shè)O到直線l的距離為d，根據(jù)三角形面積公式可得△OPQ的面積的表達(dá)式，根據(jù)k的范圍確定△OPQ的面積的最大值．求出此時(shí)的k和m，所求的直線方程可得．
解答：解：（1）由題知|EA|=|EB|
∴|EA|+|EC|=|EB|+|EC|=4
又∵∴點(diǎn)E的軌跡是以A，C為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓，
∴E的軌跡方程為
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中點(diǎn)為（x，y）
將直線y=kx+m與
聯(lián)立得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0△=16（4k²+1-m²）＞0，即4k²+1＞m²①
又
依題意有，
整理得3km=4k²+1②
由①②可得，∵m＞0，∴k＞0，∴
設(shè)O到直線l的距離為d，則
=
當(dāng)時(shí)，△OPQ的面積取最大值1，
此時(shí)，∴直線方程為
點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與橢圓的關(guān)系，考查了學(xué)生對圓錐曲線綜合知識的把握．