Question

2012年3月2日，國家環保部發布了新修訂的《環境空氣質量標準》．其中規定：居民區中的PM2.5(PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱可入肺顆粒物)年平均濃度不得超過35微克/立方米，PM2.5的24小時平均濃度不得超過75微克/立方米．某城市環保部門隨機抽取了一居民區去年40天的PM2.5的24小時平均濃度的監測數據，數據統計如下：

組別	PM2.5(微克/立方米)	頻數(天)	頻率
第一組	(0，15]	4	0.1
第二組	(15，30]	12	0.3
第三組	(30，45]	8	0.2
第四組	(45，60]	8	0.2
第五組	(60，75]	4	0.1
第六組	(75，90)	4	0.1

(1)寫出該樣本的眾數和中位數(不必寫出計算過程)；
(2)求該樣本的平均數，并根據樣本估計總體的思想，從PM2.5的年平均濃度考慮，判斷該居民區的環境是否需要改進？說明理由；
(3)將頻率視為概率，對于去年的某2天，記這2天中該居民區PM2.5的24小時平均濃度符合環境空氣質量標準的天數為X，求X的分布列及數學期望E(X)．

Answer 1

（1）22.5，37.5（2）需要改進（3）1.8(天)
X的分布列為

X	0	1	2
P

 

(1)眾數為22.5微克/立方米，中位數為37.5微克/立方米．
(2)去年該居民區PM2.5年平均濃度為7.5×0.1＋22.5×0.3＋37.5×0.2＋52.5×0.2＋67.5×0.1＋82.5×0.1＝40.5(微克/立方米)．因為40.5>35，所以去年該居民區PM2.5年平均濃度不符合環境空氣質量標準，故該居民區的環境需要改進．
(3)記事件A表示“一天中PM 2.5的24小時平均濃度符合環境空氣質量標準”，則P(A)＝.隨機變量X的可能取值為0，1，2，且X～B.
所以P(X＝k)＝ (k＝0，1，2)，
所以X的分布列為

X	0	1	2
P

E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.8(天)或E(X)＝np＝2×＝1.8(天)．