Question

已知直線l₁：y=x和直線l₂：y=-x，動點(diǎn)M到x軸的距離小于到y(tǒng)軸的距離，且M到l₁，l₂的距離之積為常數(shù)4．
（1）求動點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）過點(diǎn)N（3，0）的直線L與曲線C交與P、Q，若，求直線L的方程．

Answer 1

解：（1）由題意且|x|＞|y|，
∴x²-y²=8 …（5分）
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），易知直線傾斜角不為0，可設(shè)直線L方程為 x=ty+3
代入雙曲線方程得：（t²-1）y²+6ty+1=0，△＞0
， （1）
又 則y₁=-2y₂ （2）
聯(lián)立（1）（2）得：
所以直線L方程為： …（12分）
分析：（1）利用動點(diǎn)M到x軸的距離小于到y(tǒng)軸的距離，且M到l₁，l₂的距離之積為常數(shù)4，可得方程且|x|＞|y|，化簡即可得；
（2）將直線方程代入雙曲線方程，利用韋達(dá)定理及，即可求直線方程．
點(diǎn)評：本題的考點(diǎn)是直線與圓錐曲線的關(guān)系，主要軌跡方程的求解，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，關(guān)鍵是聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求解．