Question

（本小題滿分12分）如圖，多面體ABCDS中，面ABCD為矩形， ，

   （1）求證：CD;   （2）求AD與SB所成角的余弦值;

   （3）求二面角A—SB—D的余弦值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Answer 1

解：（I）是矩形，      --------------1分

 又 -------------2分

                   -------------3分

 CD            -------------4分

   （II）由，及（I）結論可知DA、DC、DS

兩兩互相垂直，

建立如圖所示的空間直角坐標系

                --------------5分

          _{高☆考♂資♀源*網}                  --------------6分

                     --------------7分

       AD與SB所成的角的余弦為                 --------------8分

   （III）設面SBD的一個法向量為

                --------------9分

    又

∴設面DAB的一個法向量為

所以所求的二面角的余弦為             …………11分

解法二

   （I）同解法一

   （II）矩形ABCD，∴AD//BC，即BC=a，

∴要求AD與SB所成的角，即求BC與SB所成的角    _{高☆考♂資♀源*網}…………5分

在中，由（1）知，SD⊥面ABCD。

中，

CD是CS在面ABCD內的射_{http://www..com/}影，且

                             _{http://www..com/}            --------------6分

              ----------8分

       從而SB與AD的成的角的余弦為

   （III）面ABCD．   BD為面SDB與面ABCD的交線．     SDB      于F，連接EF，      從而得：

為二面角A—SB—D的平面角            ------10分

       在矩形ABCD中，對角線中，

由（2）知在，

而中，SA=a，且AB=2a，

為等腰直角三角形且為直角，

所以所求的二面角的余弦為       _{高☆考♂資♀源*網}           --------------12分