Question

已知雙曲線C的中心在原點O，拋物線y²=的焦點是雙曲線C的一個焦點，且雙曲線過點(1，).

(Ⅰ)求雙曲線的方程；

(Ⅱ)設直線l：y=kx+1與雙曲線C交于A、B兩點，試問：

(1)k為何值時，⊥.

(2)是否存在實數k，m使A、B兩點關于直線y=mx對稱，若存在，求出k，m的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：(Ⅰ)由題意設雙曲線方程為=1,把(1,)代入得=1  (*)

又y₂=x的焦點是(,0),故雙曲線的c²=a²+b²=與(*)聯立,消去b²可得4a⁴-21a²+5=0,(4a²-1)(a²-5)=0.∴a²=,a²=5(不合題意舍去) 

于是b²=l,∴雙曲線方程為4x²-y²=1 

(Ⅱ)由消去y得(4-k²)x²-2kx-2=0  (*),

當△＞0,即(k≠±2)時,l與C有兩個交點A、B

(Ⅰ)設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),因,故=0 

即x₁x₂+y₁y₂=0,由(*)知x₁+x₂=,x₁x₂=,

代入可得+k²·+k·+1=0化簡得k²=2

∴k=,檢驗符合條件,故當k=±時,

(2)若存在實數k,m滿足條件,則必須

由(2),(3)得m(x₁+x₂)=k(x₁+x₂)+2  (4)

把x₁+x₂=代入(4)得mk=4這與(Ⅰ)的mk=-1矛盾,故不存在實數k,m滿足條件.