Question

（2009安徽卷文）（本小題滿分12分）

已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，以原點為圓心。橢圓短半軸長半徑的

圓與直線y=x+2相切，

（Ⅰ）求a與b；21世紀教育網      

（Ⅱ）設該橢圓的左，右焦點分別為和，直線過且與x軸垂直，動直線與y軸垂直，交與點p..求線段P垂直平分線與的交點M的軌跡方程，并指明曲線類型。

Answer 1

【思路】（1）由橢圓建立a、b等量關系，再根據直線與橢圓相切求出a、b.

（2）依據幾何關系轉化為代數方程可求得，這之中的消參就很重要了。

【解析】（1）由于  ∴  ∴  又  ∴b²=2,a²=3因此，. 21世紀教育網      

（2）由（1）知F₁，F₂兩點分別為（-1，0），（1,0），由題意可設P（1，t）.（t≠0）.那么線段PF₁中點為，設M(x、y)是所求軌跡上的任意點.由于則消去參數t得

,其軌跡為拋物線（除原點）