Question

(本小題滿分12分)已知函數f(x)=x²－1(x≥1)的圖象是C₁，函數y=g(x)的圖象C₂與C₁關于直線y=x對稱.
(1)求函數y=g(x)的解析式及定義域M；
(2)對于函數y=h(x)，如果存在一個正的常數a，使得定義域A內的任意兩個不等的值x₁，x₂都有|h(x₁)－h(x₂)|≤a|x₁－x₂|成立，則稱函數y=h(x)為A的利普希茨Ⅰ類函數.試證明：y=g(x)是M上的利普希茨Ⅰ類函數；
(3)設A、B是曲線C₂上任意不同兩點，證明：直線AB與直線y=x必相交.

Answer 1

（1）g(x)= ，M={x|x≥0}；（2）略；（3）略

解：(1)由y=x²－1(x≥1)，得y≥0，且x=，
∴f^－1(x)= (x≥0)，
即C₂：g(x)= ，M={x|x≥0}.                                4分
(2)對任意的x₁，x₂∈M，且x₁≠x₂，則有x₁－x₂≠0，x₁≥0，x₂≥0.
∴|g(x₁)－g(x₂)|=|－|=＜|x₁－x₂|.
∴y=g(x)為利普希茨Ⅰ類函數，其中a=.                         8分
(3)設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)是曲線C₂上不同兩點，x₁，x₂∈M，且x₁≠x₂.
由(2)知|k_AB|=||=＜＜1.
∴直線AB的斜率k_AB≠1.
又∵直線y=x的斜率為1，∴直線AB與直線y=x必相交.                                                      12分