Question

設f(x)＝lg，如果當x∈(－∞，1)時f(x)有意義，求實數a的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：由題設可知，不等式1＋2＋4a＞0在x∈(－∞，1)上恒成立， 　　即：()＋()＋a＞0在x∈(－∞，1)上恒成立 　　設t＝()，則t≥， 　　又設g(t)＝t＋t＋a，其對稱軸為t＝－ 　　∴t＋t＋a＝0在[，＋∞)上無實根， 　　即g()＝()＋＋a＞0，得a＞－ 　　所以a的取值范圍是a＞－． 　　分析：將當x∈(－∞，1)時f(x)＝lg有意義的函數問題轉化為1＋2＋4a＞0在x∈(－∞，1)上恒成立的不等式問題． 　　說明：對于不等式恒成立，引入新的參數化簡了不等式后，構造二次函數，利用函數的圖像和單調性解決問題，其中也聯系到了方程無解，體現了方程思想和函數思想一般地，我們在解題中要抓住二次函數及圖像、二次不等式、二次方程三者之間的緊密聯系，將問題進行相互轉化． 　　在解決不等式()＋()＋a＞0在x∈(－∞，1)上恒成立的問題時，也可使用“分離參數法”：設t＝()，t≥，則有a＞－t－t∈，所以a的取值范圍是a＞－．其中最后得到a的范圍，是利用了二次函數在某區間上值域的研究，也可屬應用“函數思想”．