Question

設函數是定義域為的奇函數．

(1)求的值；

(2)若，且在上的最小值為，求的值.

(3)若，試討論函數在上零點的個數情況。

 

Answer 1

(1) ;(2) (3) 當時在上有一個零點;當時在上無零點.

【解析】

試題分析：(1) 由奇函數的性質求,可用特殊值或用恒等式對應項系數相等，如果0在奇函數的定義域內,則一定有,如果不在可任取定義域內兩個相反數代入求.

(2)由求出,代入得,換元,注意自變量的取值范圍,每設出一個子母都要把它取的范圍縮到最小以有利于解題, 所以得到得到一個新的函數,利用二次函數函數單調性求最值方法得到,二次函數在區間上的最值在端點處或頂點處,遇到對稱軸或區間含有待定的字母,則要按對稱軸在不在區間內以及區間中點進行討論.

(3)由函數零點判定轉化為二次方程根的判定,即在解個數情況,這個解起來比較麻煩,所以可以用函數單調性先來判定零點的個數,即在上為增函數,也就是在這個區間上是一一映射, 時的每個值方程只有一個解.

試題解析：

(1)為上的奇函數

即

(2)由(1)知

解得或(舍)

且在上遞增

令則

所以令,且

因為的對稱軸為

Ⅰ當時

解得(舍)

Ⅱ當時

解得

綜上:

(3)由(2)可得:

令則

即求,零點個數情況

即求在解個數情況

由得,

所以在上為增函數

當時有最小值為

所以當時方程在上有一根,即函數有一個零點

當時方程在上無根,即函數無零點

綜上所述:當時在上有一個零點

當時在上無零點.

考點：函數奇偶性,復合函數求最值,函數的零點.