Question

（1）如圖，在平面直角坐標系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在（0，1），此時圓上一點P的位置在（0，0），圓在x軸上沿正向滾動．當圓滾動到圓心位于（2，1）時，

OP

的坐標為

 

．
（2）在矩形ABCD中，邊AB、AD的長分別為2、1，若M、N分別是邊BC、CD上的點，且滿足

| BM |

| BC |

=

| CN |

| CD |

，則

AM

•

AN

的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：（1）由題意點P旋轉了2弧度，進而可得P的坐標，即可得向量

OP

的坐標；
（2）建立坐標系，設N（x，1）（0≤x≤2），由題意可得

AN

，

AM

的坐標，進而可得其數量積，可得范圍．

解答：解：（1）根據題意可知圓滾動了2單位個弧長，點P旋轉了

2

1

=2弧度，
此時點P的坐標為：xP=2-cos(2-

π

2

)=2-sin2，yP=1+sin(2-

π

2

)=1-cos2．
∴

OP

=(2-sin2， 1-cos2)．
（2）如圖所示，以A為原點，向量

AB

所在直線為x軸，過AD所在直線為y軸建立平面直角坐標系．
∵在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，
∴A（0，0），B（2，0），C（2，1），D（0，1）．
設N（x，1）（0≤x≤2），則|

BC

|=1，|

CN

|=2-x，|

CD

|=2．
∴由

| BM |

| BC |

=

| CN |

| CD |

得，|

BM

|=1-

1

2

x．
∴M的坐標為(2， 1-

1

2

x)．
∴

AN

=(x， 1)， 

AM

=(2， 1-

1

2

x)．
∴

AN

•

AM

=2x+1-

1

2

x=

3

2

x+1．
∵0≤x≤2，∴1≤

3

2

x+1≤4．
∴

AN

•

AM

的取值范圍是[1，4]．
故答案為：（2-sin2，1-cos2）；[1，4]

點評：本題考查向量的應用，涉及平面向量的數量積的運算，屬中檔題．