Question

【題目】如圖所示，三棱柱中，平面，點，分別在線段，上，且，，是線段的中點.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若，，，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見詳解；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）取中點為，根據幾何關系，求證四邊形為平行四邊形，即可由線線平行推證線面平行；

（Ⅱ）以為坐標原點，建立空間直角坐標系，求得直線的方向向量和平面的法向量，即可求得線面角的正弦值.

（Ⅰ）取的中點，連接，.如下圖所示：

因為，分別是線段和的中點，

所以是梯形的中位線，所以.

又，所以.

因為，，

所以四邊形為平行四邊形，所以.

所以，.

所以四邊形為平行四邊形，所以.

又平面，平面，

所以平面.

（Ⅱ）因為，且平面，

故可以為原點，的方向為軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，

如下圖所示：

不妨設，則，

所以，，，，.

所以，，.

設平面的法向量為，

則所以

可取.

設直線與平面所成的角為，

則.

故可得直線與平面所成的角的正弦值為.