Question

設命題p：關于x的不等式a^x＞1（0＜a＜1，或a＞1）的解集是{x|x＜0}，命題q：函數y=lg（ax²-x+a）的定義域為R．
（1）如果“p且q”為真，求實數a的取值范圍；
（2）如果“p且q”為假，“p或q”為真，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：先求出命題P與命題q為真命題的等價條件．
（1）由復合命題真值表得，若“p且q”為真命題，則命題P，q都是真命題，確定實數m的范圍．
（2）由復合命題真值表得：若p∨q為真，p∧q為假，則命題P，q一真一假，確定實數m的取值范圍．

解答：解：若p為真命題，即關于x的不等式a^x＞1的解集是{x|x＜0}，則0＜a＜1，
若q為真命題，即函數y=lg（ax²-x+a）的定義域為R．則

a＞0 △=1-4a2＜0

⇒a＞

1

2

，
（1）由復合命題真值表得，若“p且q”為真命題，則命題P，q都是真命題，
故a的取值范圍是

1

2

＜a＜1；
（2）由復合命題真值表得，若且q”為假，“p或q”為真，則命題P，q一真一假，
若命題P為真，命題q為假時，0＜a≤

1

2

若命題P為假，命題q為真，a＞1，
所以實數a的取值范圍是：0＜a≤

1

2

或a＞1．

點評：本題主要考查復合命題真假判定，利用指數函數與對數函數的性質求出命題成立的等價條件是解決的關鍵．